leetcode 上的 peak finding 问题汇总
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Nov 17, 2022
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算法
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巧妙利用二分解题
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题目852. 山脉数组的峰顶索引方法1 暴力方法2 二分162. 寻找峰值方法1 暴力方法2 二分方法3 改进的暴力方法4 改进的二分74. 搜索二维矩阵方法1 暴力方法2 二分方法3 利用数组特性总结
题目
一共三道，每道题之间互相有联系
题目虽然没有保证 distinct，不过我们仍然可以用 divide and conquer 的思想尝试解题
852. 山脉数组的峰顶索引
方法1 暴力
读题，数据范围很小，直接遍历即可
这里有一个技巧，我们不需要真的去判断
A[i - 1], A[i], A[i + 1] 的关系，我们只需要找到第一个A[i] > A[i + 1]的i即可，因为这个i必然满足A[i - 1] < A[i]方法2 二分
二分查找的思想，山脉数组总是一个先上升后下降的趋势，那么按照二分的思想，每次取得mid进行判断
- mid就是山顶，返回mid
- mid处于局部上升的区间，返回右边区间的二分
- mid处于局部下降的区间，返回左边区间的二分
由此可以写出代码：
特别的，由于题目输入保证有解，我们可以初始化边界为 1 和 n - 2
162. 寻找峰值
就是之前提到的1D-finding问题，不过在leetcode上面可以做得更巧妙
方法1 暴力
自然而然就想到的做法
方法2 二分
之前的文章我们分析过了，如果一个数组是
distinct的，那么这个数组至少会有一个峰值，且如果峰值的下标i不属于，那么峰值一定会出现在数组A的起始或者末尾，基于上述的结论，二分法在distinct的数组里面一定能找到峰值，我们不断往更大值的方向走就行了。方法3 改进的暴力
由山脉数组这道题推导得来的结论
其实这种严格不重复的数组不外乎就四种形状
- 一直上升
- 一直下降
- 先上升后下降
- 先下降再上升
任何更复杂的数组，它的局部一定能找到上述形状，既然局部存在着上述形状，那么一定会存在峰值，所以我们可以分析这四种形状来解决问题
基于这个性质，我提出假设：
我们使i=0，然后从第一个元素开始比较，只需要比较第i个元素和第i+1个元素的大小即可对于假设的证明，我们使用反证法：
对于i属于0到A.length-1，当A[i]>A[i+1]的时候，A[i]一定是峰值。 这是因为如果A[i]不是峰值，那么必定有A[i-1]>A[i]，此时如果A[i-1]是峰值就不会遍历到A[i]，所以A[i-1]不是峰值，继续往上推导，得出结论A[0]一定大于A[1]，否则A[1]是峰值，但是A[1]不是，所以A[0]一定大于A[1]，于是A[0]是峰值，但是A[0]必然不是峰值，因为已经遍历到A[i]，所以可以得出A[0],A[1]...A[i-1]一定是小于A[i]的，反证法得出A[i]一定是峰值
由上我们可以得出更加简洁的暴力法
方法4 改进的二分
我们再继续讨论一下二分法能否用在这个问题上，对于nums，我们随机取得一个下标mid，，当nums[mid]同时满足
nums[mid-1]<nums[mid]<nums[mid+1]的时候，mid对应了一个峰值。但是经过上述的讨论我们发现，改进的暴力法只需要比较nums[mid]和nums[mid+1]的大小即可，由此我们先尝试写出二分的三个步骤，再验证是否正确。
三个步骤就是：满足条件（二分边界），往左二分，往右二分
取mid
- 如果
nums[mid]>nums[mid+1]，此时需要判断nums[mid-1]与nums[mid]的关系，需要往左边二分，由于nums[mid]有可能是峰顶，所以我们往左边二分的区间是[left,mid]
- 如果
nums[mid]<nums[mid+1]，那么nums[mid]必然不是峰顶，而numd[mid+1]是峰顶的可能性存在，所以我们需要往右边二分，二分的区间是[mid+1,right]
- 上面分别是往左和往右二分的情况，现在我们需要终止二分的条件，思考极端情况，当数组元素只有一个的时候，那么这个元素一定是峰值，所以我们可以得出，当二分的left和right相等的时候，此时直接返回left即可，这个元素一定是峰值
观察1，2两个步骤，可能会有疑问，如果往左或者往右二分的时候，峰值不存在怎么办？回到这篇文章的1D finding推论，当多次二分达到边界之后，此时边界一定会是峰值，所以这样二分是正确的
由此可以写出代码
74. 搜索二维矩阵
方法1 暴力
首先暴力法很容易想到，时间复杂度$O(MN)$
方法2 二分
一个二维矩阵，总是可以展开成一维数组来存储，满足题目中条件的矩阵展开成一维数组后就是一个升序序列，求一个升序序列中是否存在目标值，当然可以用二分法来做，明确可以用二分之后，也有很多种做法，这里先写用整个矩阵来二分
上面是用整个矩阵做二分，时间复杂度是。
注意到这个矩阵里面，每一行都是一个升序序列，那么我们可以确定target在矩阵中大概位于哪一行，然后再在那个区间判断，这样不需要对整个矩阵做二分了
改进后的二分解法，时间复杂度是$O(m+log(n))$
注意到 矩阵的第一列一定也是一个升序数组，所以我们对第一个遍历过程改成二分
写得很复杂，没有原来的方法简洁，但是时间复杂度变为
方法3 利用数组特性
这个数组的特点很明显，要想办法利用一下
每行中的整数从左到右按升序排列。 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
比如这个数组，我们逆时针旋转90度，以7为出发点，就能得到一颗类似于二叉搜索树的矩阵，那么我们从根节点出发，利用搜索树的特性就能得到答案了
时间复杂度，上面的解法在《剑指offer》里面也有介绍
总结
上面这三道题就是finding问题，由于数组的特殊性，巧妙的解法都是从
A[M]和A[M-1],A[M+1]的关系来入手的